题目内容
【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC= 
BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．
（Ⅰ）证明：ED∥面PAB；
（Ⅱ）若PC=2，PA= 
，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．
∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF= 
．
又AD=BC，且AD= ，∴AD∥EF且AD=EF，
则四边形ADEF是平行四边形．
∴DE∥AF，又DE面ABP，AF面ABP，
∴ED∥面PAB；
（Ⅱ）解：法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，
∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．
∴AB⊥AC，可得 
．
过D作DG⊥AC于G，
∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．
过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，
∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．
在△ADC中， 
，连接AE， 
．
在Rt△GDH中， 
，
∴ 
，
即二面角A﹣PC﹣D的余弦值 
．
法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．
∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，
∴AB⊥AC．
∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．
如图以A为原点， 
方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．
可得 
， 
．
设P（x，0，z），（z＞0），依题意有 
， 
，
解得 
．
则 
， 
， 
．
设面PDC的一个法向量为 
，
由 
，取x0=1，得 
．
为面PAC的一个法向量，且 
，
设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，
则有 
，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值 ．
【解析】
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．
