题目内容
【题目】椭圆C： 
过点P（ 
，1）且离心率为 
，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若△AMN面积为3 ，求直线MN的方程．
【答案】解：（Ⅰ）由题意可得： 
=1， 
= 
，又a2=b2+c2，
联立解得：a2=6，b2=2，c=2．
∴椭圆C的方程为： 
．
（Ⅱ）F（2，0）．
①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得： 
+ 
=1，解得y=± ．
则S△AMN= 
=2 
≠3 
，舍去．
②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x﹣2．
把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．
∴y1+y2=﹣ 
，y1y2= 
，
∴|y1﹣y2|= 
= 
= 
．
则S△AMN= 
=3× =3 ，解得m=±1．
∴直线MN的方程为：y=±（x﹣2）．
【解析】（1）由题意可得： =1， = ，又a2=b2+c2，联立解得：a2，b2，c．可得椭圆C的方程．（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得： + =1，解得y．则S△AMN≠3 
，舍去．②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．可得|y1﹣y2|= ．利用S△AMN= =3 即可得出．
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