题目内容
【题目】椭圆C: 过点P(
,1)且离心率为
,F为椭圆的右焦点,过F的直线交椭圆C于M,N两点,定点A(﹣4,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若△AMN面积为3 ,求直线MN的方程.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可得: =1,
=
,又a2=b2+c2,
联立解得:a2=6,b2=2,c=2.
∴椭圆C的方程为: .
(Ⅱ)F(2,0).
①若MN⊥x轴,把x=2代入椭圆方程可得: +
=1,解得y=±
.
则S△AMN= =2
≠3
,舍去.
②若MN与x轴重合时不符合题意,舍去.因此可设直线MN的方程为:my=x﹣2.
把x=my+2代入椭圆方程可得:(m2+3)y2+4my﹣2=0.
∴y1+y2=﹣ ,y1y2=
,
∴|y1﹣y2|= =
=
.
则S△AMN= =3×
=3
,解得m=±1.
∴直线MN的方程为:y=±(x﹣2).
【解析】(1)由题意可得: =1,
=
,又a2=b2+c2,联立解得:a2,b2,c.可得椭圆C的方程.(2)F(2,0).①若MN⊥x轴,把x=2代入椭圆方程可得:
+
=1,解得y.则S△AMN≠3
,舍去.②若MN与x轴重合时不符合题意,舍去.因此可设直线MN的方程为:my=x﹣2.把x=my+2代入椭圆方程可得:(m2+3)y2+4my﹣2=0.可得|y1﹣y2|=
.利用S△AMN=
=3
即可得出.

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