题目内容
已知正四面体A-BCD的棱长为1，O为底面BCD的中心，则
•
= ．
| AB |
| AO |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用,空间向量及应用
分析：如图所示建立空间直角坐标系，利用正四面体和等边三角形的性质可得点A，B的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得出．
解答：
解：如图所示建立空间直角坐标系，
连接BO并延长交DC于E点，则点E为DC的中点．
∵正△BCD的边长=1，∴BE=
．
∵O为底面BCD的中心，
∴BO=
BE=
．∴B(0，-
，0)．
在Rt△AOB中，AO=
=
=
．
∴A(0，0，
)，
∴
=(0，-
，-
)，
=(0，0，-
)．
∴
•
=0-
×(-
)=
．
故答案为：
．
连接BO并延长交DC于E点，则点E为DC的中点．∵正△BCD的边长=1，∴BE=
| ||
| 2 |
∵O为底面BCD的中心，
∴BO=
| 2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
在Rt△AOB中，AO=
| AB2-BO2 |
12-(
|
| ||
| 3 |
∴A(0，0，
| ||
| 3 |
∴
| AB |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| AO |
| ||
| 3 |
∴
| AB |
| AO |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
故答案为：
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查了正四面体、等边三角形的性质、数量积的坐标运算，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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