Question

11．若无穷等比数列{a_n}的各项和为3，则首项a₁的取值范围为（0，3）∪（3，6）．

Answer 1

分析 依题意知|q|＜1且q≠0，由$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=3⇒q=1-$\frac{{a}_{1}}{3}$∈（-1，1），从而可求得a₁的取值范围．

解答 解：设等比数列的公比为q，
依题意知|q|＜1且q≠0，
∴S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=3，
可得q=1-$\frac{{a}_{1}}{3}$∈（-1，1），
即-1＜$\frac{{a}_{1}}{3}$-1＜1且$\frac{{a}_{1}}{3}$-1≠0，
解得0＜a₁＜3或3＜a₁＜6．
故答案为：（0，3）∪（3，6）．

点评 本题考查数列的求和与数列的极限，求得q=1-$\frac{{a}_{1}}{3}$是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．