Question

9．已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$，
（1）用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}$；
（2）若点D是OB的中点，用向量方法证明四边形OCAD是梯形．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的加法法则即可用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}$；
（2）由2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$，可证明A为BC的中点，点D是OB的中点，利用向量关系证明向量AD与向量OC成λ倍数关系即可得AD∥OC，那么四边形OCAD是梯形．

解答 解：（1）由题意：直线AB上有一点C，
∵2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CA}$，
所以A为BC的中点；
由：$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}$…①，
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}$…②，
∵$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AC}$带入①可得：$\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}$…③
由②③消去$\overrightarrow{AC}$可得：$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$．
（2）点D是OB的中点，则$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$．
由：$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{OA}$…④
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}$…⑤，
由①④⑤可得：$\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$，
所以AD∥OC，
故得四边形OCAD是梯形．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．