Question

在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序排列，且O、P、Q、R三点的坐标分别为（0，0），（1，t），（1-2t，2+t），其中t∈（0，+∞）．
（1）求顶点R的坐标；
（2）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）

Answer 1

考点：点到直线的距离公式,两点间距离公式的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设出矩形对角线的交点为A，由矩形的性质可知A到四个顶点的距离相等，由O与Q的坐标，利用中点坐标公式表示出点A的坐标，再由P的坐标与中点A的坐标，利用中点坐标公式即可表示出R的坐标；
（Ⅱ）由矩形顶点O，P及Q的坐标，根据两点间的距离公式表示出|OP|与|PQ|的长，求出两者的积即为矩形的面积，然后分1-2t大于等于0和小于0两种情况考虑，当1-2t大于等于0时，由点R与Q的坐标表示出直线RQ的方程，令x=0求出直线与y轴的交点，设为M，表示出三角形OMR的面积，利用矩形的面积减去三角形OMR的面积即为所求的面积；当1-2t小于0时，设出直线RQ的方程，令x=0求出直线与y轴的交点，记作N，此时三角形OPN的面积即为所求的面积．

解答： 解：（Ⅰ）设矩形OPQR对角线的交点为A，根据矩形的性质得到A为OQ及PR的中点，
∵O（0，0），Q（1-2t，2+t），∴A（

1-2t

2

，

2+t

2

），
又P（1，t），则R的坐标为（1-2t-1，2+t-t），即（-2t，2）；（4分）
（Ⅱ）矩形OPQR的面积S₁=|OP|•|PQ|=

1+t2

•

4t2+4

=2（1+t²）．（6分）
1°当1-2t≥0时，设线段RQ与y轴交于点M，
直线RQ的方程为y-2=t（x+2t），（8分）
得点M的坐标为（0，2t²+2），
△OMR面积为S₂=

1

2

OM•x_R=2t（1+t²），
∴S（t）=S₁-S₂=2（1-t）（1+t²）．（10分）
2°当1-2t＜0时，设线段RQ与y轴交于点N，
直线RQ的方程为y-t=-

1

t

（x-1），（12分）
点N的坐标（0，t+

1

t

），
S（t）=S_△OPN=

t2+1

2t

．（14分）
从而S（t）=

2(1-t)(1+t2)，0＜t 1 2 t2+1 2t ，t＞ 1 2

．（16分）

点评：此题考查了矩形的性质，中点坐标公式以及分类讨论的数学思想．学生作第二问时注意分点Q在第一象限与第二象限，即2t-1大于等于0和2t-1小于0两种情况进行分类讨论．