Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n=k•3ⁿ-m，且a₁=3，a₃=27．
（I）求证：数列{a_n}是等比数列；
（II）若a_nb_n=log₃a_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的定义即可证明．
（II）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 （I）证明：∵${S_n}=k•{3^n}-m$，∴S₁=a₁=3k-m=3，a₃=S₃-S₂=18k=27，解得$k=m=\frac{3}{2}$．
则当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{3}{2}•{3^n}-\frac{3}{2}•{3^{n-1}}={3^n}$，
又a₁=3，∴?n∈N^*，${a_n}={3^n}$．
则$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=3$为常数，故由等比数列的定义可知，数列{a_n}是等比数列．
（II）解：∵a_nb_n=log₃a_n+1，∴${b_n}=\frac{n+1}{3^n}$．
则${{T}_n}=\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{3^3}+…+\frac{n}{{{3^{n-1}}}}+\frac{n+1}{3^n}$，
∴$\frac{1}{3}{{T}_n}=\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+…+\frac{n}{3^n}+\frac{n+1}{{{3^{n+1}}}}$，
则$\frac{2}{3}{{T}_n}=\frac{2}{3}+（{\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}}）-\frac{n+1}{{{3^{n+1}}}}=\frac{5}{6}-\frac{2n+5}{{2•{3^{n+1}}}}$，
即${{T}_n}=\frac{1}{4}（{5-\frac{2n+5}{3^n}}）$（n∈N^*）．

点评 本题考查了递推关系与等比数列的定义、“错位相减法”、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．