Question

8．已知函数f（x）=mx²+（1-3m）x-4，m∈R．
（Ⅰ）当m=1时，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞-1；
（Ⅲ）当m＜0时，若存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）＞0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当m=1时，函数f（x）=x²-2x-4在（-2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，即可求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）分类讨论，即可解关于x的不等式f（x）＞-1；
（Ⅲ）若存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）＞0，则（1-3m）²+16m＞0，即可求m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当m=1时，
函数f（x）=x²-2x-4在（-2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数．  （2分）
又f（-2）=4，f（1）=-5，f（2）=-4，
所以，f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值分别为4和-5．     （4分）
（Ⅱ）不等式f（x）＞-1，即mx²+（1-3m）x-3＞0，
当m=0时，解得x＞3．           （5分）
当m≠0时，（x-3）（mx+1）=0的两根为3和$-\frac{1}{m}$，（6分）
当m＞0时，$-\frac{1}{m}＜3$，不等式的解集为$\{x|x＜-\frac{1}{m}或x＞3\}$．   （7分）
当m＜0时，$3-（-\frac{1}{m}）=\frac{3m+1}{m}$，
所以，当$m＜-\frac{1}{3}$时，$-\frac{1}{m}＜3$，不等式的解集为$\{x|-\frac{1}{m}＜x＜3\}$．   （8分）
当$m=-\frac{1}{3}$时，不等式的解集为∅．    （9分）
当$-\frac{1}{3}＜m＜0$时，$3＜-\frac{1}{m}$，不等式的解集为$\{x|3＜x＜-\frac{1}{m}\}$．    （10分）
综上，当m＞0时，解集为$\{x|x＜-\frac{1}{m}或x＞3\}$；当m=0时，解集为{x|x＞3}；当$-\frac{1}{3}＜m＜0$时，解集为$\{x|3＜x＜-\frac{1}{m}\}$；当m=-$\frac{1}{3}$时，解集为∅；当$m＜-\frac{1}{3}$时，解集为$\{x|-\frac{1}{m}＜x＜3\}$．
（Ⅲ）因为m＜0，所以f（x）=mx²+（1-3m）x-4是开口向下的抛物线，
抛物线的对称轴为$x=-\frac{1-3m}{2m}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2m}＞1$，（11分）
若存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）＞0，则（1-3m）²+16m＞0，（12分）
即9m²+10m+1＞0，解得m＜-1或$-\frac{1}{9}＜m＜0$，
综上，m的取值范围是$（-∞，-1）∪（-\frac{1}{9}，0）$．     （13分）

点评 本题考查二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．