Question

2．已知$A（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上一点，椭圆的离心率$e=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与椭圆交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），由A是PB的中点，得B（2x₁，2y₁-3）．把A，B坐标代入椭圆方程可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\\ \frac{{{{（2{x_1}）}^2}}}{4}+\frac{{{{（2{y_1}-3）}^2}}}{3}=1\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），由A是PB的中点，得B（2x₁，2y₁-3）．
∵A，B在椭圆上，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\\ \frac{{{{（2{x_1}）}^2}}}{4}+\frac{{{{（2{y_1}-3）}^2}}}{3}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=±1\\{y_1}=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
∴直线m的斜率$k=±\frac{3}{2}$．
∴直线的方程$y=±\frac{3}{2}x+3$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．