Question

已知函数f（x）=2k²x+k，x∈[0，1]．函数g（x）=3x²-2（k²+k+1）x+5，x∈[-1，0]．存在x₁∈[0，1]，x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立，求k的取值范围．（g（x）的值域与f（x）的值域的交集非空．）

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：求出f（x）在[0，1]上的值域，g（x）在[-1，0]上的值域，由f（x）在[0，1]上的值域是g（x）在[-1，0]上的值域的子集说明对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立．

解答： 解：f（x）=2k²x+k，当x∈[0，1]时，函数单调递增，f（x）∈[k，2k²+k]，
g（x）=3x²-2（k²+k+1）x+5，
当x∈[-1，0]时，g（x）∈[5，2k²+2k+10]，
由对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立有
[k，2k²+k]⊆[5，2k²+2k+10]，
即

5≤k 2k2+k≤2k2+2k+10

，解得k≥5，
则求k的取值范围为k≥5．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，关键是把问题转化为两函数在不同定义域内的值域间的关系问题，是中档题．