Question

【题目】已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量＝(a，b)，＝(sin B，sin A)， ＝(b－2，a－2)．

(1)若∥，求证：△ABC为等腰三角形；

(2)若⊥，边长c＝2，∠C＝，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2) .

【解析】分析：（1）根据正弦定理和向量平行的条件，问题得以证明；
（2）根据向量垂直则数量积等于0，利用余弦定理，求出ab的积，然后利用三角形的面积公式，即可解得．

详解：

(1)证明　∵∥，∴asin A＝bsin B，

即a·＝b· (其中R是△ABC外接圆的半径)．

∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．

(2)解　由⊥得·＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，

∴a＋b＝ab.

又c＝2，∠C＝，∴4＝a2＋b2－2abcos，即有

4＝(a＋b)2－3ab.

∴(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(ab＝－1舍去)．

因此S△ABC＝absin C＝×4×＝ .