Question

【题目】定义域为的函数满足：，且对于任意实数，恒有，当时，.

（1）求的值，并证明当时，；

（2）判断函数在上的单调性并加以证明；

（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或

【解析】分析：（1）赋值：令，，可得，令，设，则，，因为，，所以.（2）单调性证明根据定义证明即可：设，则，，，由（1）知，，所以，即，（3）结合（2）的单调性可得只需解，对任意恒成立即可.

详解：

（1）由已知，对于任意实数，恒有，

令，，可得，

因为当时，，所以，故.

令，设，则，，

因为，，所以.

（2）设，则，，

，

由（1）知，，所以，即，

所以函数在上为减函数.

（3）由得

所以

即，

上式等价于对任意恒成立，

因为，所以

所以对任意恒成立，

设，（时取等），

所以，

解得或.