题目内容

17．设函数$f（x）={2^{\sqrt{-{x^2}+2x+\frac{5}{4}}}}$，对于给定的正数K，定义函数fg（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥K}\\{K，f（x）＜K}\end{array}}$，若对于函数$f（x）={2^{\sqrt{-{x^2}+2x+\frac{5}{4}}}}$定义域内的任意x，恒有fg（x）=f（x），则（　　）
A．K的最小值为1B．K的最大值为1C．K的最小值为$2\sqrt{2}$D．K的最大值为$2\sqrt{2}$

分析 若对于函数$f（x）={2^{\sqrt{-{x^2}+2x+\frac{5}{4}}}}$定义域内的任意x，恒有fg（x）=f（x），则f（x）≥K恒成立，求出f（x）的最小值，即为K的最大值．

解答 解：若对于函数$f（x）={2^{\sqrt{-{x^2}+2x+\frac{5}{4}}}}$定义域内的任意x，恒有fg（x）=f（x），
则f（x）≥K恒成立，
∵$f（x）={2}^{\sqrt{-{x}^{2}+2x+\frac{5}{4}}}$≥20=1，
故K≤1，
即K的最大值为1，
故选：B．

点评 本题考查的知识是恒成立问题，函数的最值，正确理解恒有fg（x）=f（x）的意义，是解答的关键．

练习册系列答案
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