Question

12．已知定义在R上的函数f（x）=x²+bx+c（a∈R，c∈R），定义：f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））．n≥2，n∈N^*
（1）若b=c=1，当n=1，2时比较f_n（x）与x的大小关系．
（2）若对任意的x∈R，都有使得f₂₀₁₂（x）＞x，用反证法证明：4c＞（b-1）²．

Answer 1

分析 （1）分别求出f₁（x），f₂（x），作差比较即可；（2）运用反证法得4c≤（b-1）²，得出矛盾．

解答 解：（1）因为f₁ （x）=f（x）=x²+x+1，
f₂（x）=f（f₁（x））=（x²+x+1）²+（x²+x+1）+1，
∴f₂（x）-x=（x²+x+1）²+（x²+x+1）+1-x=（x²+x+1）²+x²+2＞0
∴f_n（x）＞x，（n=1，2）；
（2）若4c≤（b-1）²，则F（x）=f（x）-x=0的△≥0，
则存在x₀ 使得f（x₀）=x₀，
f₂（x₀）=f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，
…，
f₂₀₁₂（x₀）=x₀，
与f₂₀₁₂（x）＞x矛盾，
所以假设不成立，原命题为真．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查新定义问题，考查反证法，是一道中档题．