Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₂a_n，T_n=$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式可得a_n+1=2a_n．再由2a₁-S₁=2知a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可知{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=log₂a_n求得b_n，再把a_n，b_n代入T_n=$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}$，利用错位相减法求和．

解答 解：（1）∵S_n+2=2a_n，∴S_n+1+2=2a_n+1，
两式相减得（S_n+1-S_n）=2a_n+1-2a_n，∴a_n+1=2a_n．
又n=1时，2a₁-S₁=2，∴a₁=2，
∴{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n=a₁q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}{2}^{n}=n$，
∴T_n=$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}$=$\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
则$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}=1-\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=2-\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．