题目内容
2．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n+1，设bn=an+n+2（1）证明：数列{bn}是等比数列．
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求an和Sn．
分析 （1）由an+1=2an+n+1，变形为an+1+n+3=2（an+n+2），可得bn+1=2bn，即可证明；
（2）由（1）可得：bn=4×2n-1=2n+1，可得an=2n+1-n-2．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 （1）证明：∵an+1=2an+n+1，
∴an+1+n+3=2（an+n+2），
∵bn=an+n+2，
可得bn+1=2bn，
∴数列{bn}是等比数列，首项为4，公比为2．
（2）解：由（1）可得：bn=4×2n-1=2n+1，
∴an=2n+1-n-2．
∴Sn=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（3+n+2）}{2}$
=2n+2-4-$\frac{1}{2}（{n}^{2}+5n）$．
点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
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