Question

已知f（x）=2ax-

b

x

+lnx在x=-1，x=

1

2

处取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）x∈[

1

4

，4]时，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，由极值得，f′（-1）=0，f′（

1

2

）=0，解出a，b即可；
（Ⅱ）求出导数，并分解成

1

x2

（2x-1）（x+1），求出单调区间，求出极值，判断也为最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2ax-

b

x

+lnx，
∴f′（x）=2a+

b

x2

+

1

x

．
∵f（x）在x=-1与x=

1

2

处取得极值，
∴f′（-1）=0，f′（

1

2

）=0，
即2a+b-1=0且2a+4b+2=0解得a=1，b=-1
∴所求a、b的值分别为1、-1．
（Ⅱ）由（1）得f′（x）=2-

1

x2

+

1

x

=

1

x2

（2x²+x-1）
=

1

x2

（2x-1）（x+1）．
∴当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f′（x）＜0；当x∈[

1

2

，4]时，f′（x）＞0，
∴f（

1

2

）是f（x）在[

1

4

，4]上的极小值．
又∵只有一个极小值，
∴f（x）_min=f（

1

2

）=3-ln2．

点评：本题考查导数的综合应用：求极值和最值，注意运用在某个区间内只有一个极值，一定为最值，本题属于中档题．