Question

15．定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数f'（x），满足f（x）＜f'（x），且f（0）=2，则不等式f（x）＞2e^x的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，2）
• C． （0，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则g'（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）＜f′（x），
∴g'（x）＞0，即函数g（x）单调递增．
∵f（0）=2，
∴g（0）=f（0）=2，
则不等式等价于g（x）＞g（0），
∵函数g（x）单调递增．
∴x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞），
故选：C．

点评 本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．