Question

5．已知函数f（x）=$\frac{2lnx+{a}^{2}}{x}$+bx-2a（a∈R），其中b=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（2sin$\frac{t}{2}$•cos$\frac{t}{2}$）dt，若?x∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （0，1]
• C． （-∞，$\frac{5}{2}$）
• D． （-∞，$\frac{5}{2}$]

Answer 1

分析 先利用微积分基本定理求出a，得到函数的解析式，再求导函数，根据导数和函数的单调性关系，求出函数y=x+$\frac{1}{x}$的最大值即可．

解答 解：b=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（2sin$\frac{t}{2}$•cos$\frac{t}{2}$）dt=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sintdt=-cost|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-（cos$\frac{π}{2}$-cos0）=1，
∴f（x）=$\frac{2lnx+{a}^{2}}{x}$+x-2a，
设g（x）=xf（x）=2lnx+a²+x²-2ax，
∴g′（x）=$\frac{2}{x}$+2x-2a，g′（x）=f′（x）•x+f（x），
∵?x∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，
∴?x∈（1，2），使得$\frac{2}{x}$+2x-2a＞0，
∴?x∈（1，2），使得a＜$\frac{1}{x}$+x，
又y=x+$\frac{1}{x}$在（1，2）上单调递增，
∴a＜（$\frac{1}{x}$+x）_max＜$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，
∴a＜$\frac{5}{2}$，
故选：C

点评 本题以函数为载体，考查微积分基本定理，导数的运用，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题