Question

已知关于x的函数g（x）=|-x²+2bx+c|在区间[-1，1]上的最大值为M．
（1）当b=1，c=2时，求M的值．
（2）若|b|＞1，证明对任意的c，都有M＞2．

Answer 1

考点：带绝对值的函数,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将b=1，c=2代入函数的表达式，画出函数图象，从而求出M的值；
（2）代入整理g（x）=||-（x-b）²+b²+c|，结合|b|＞1的条件判断函数g（x）的对称轴与区间[-1，1]的位置关系，从而求出该函数在[-1，1]上的最大值M，则M≥g（1），M≥g（-1），可证．

解答： 解：（1）b=1，c=2时，
g（x）=|-x²+2x+2|，x∈[-1，1]，
画出g（x）的图象，
如图示：
，
∴x=1时，M=g（x）_max=g（1）=3；
（2）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|
当|b|＞1时，函数y=g（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]之外．
∴g（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得
故M应是g（-1）和g（1）中较大的一个，
∴2M≥g（1）+g（-1）=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|＞4，即M＞2．

点评：本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类类讨论的思想．