Question

已知双曲线焦点在y轴上，F₁，F₂为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求：
（1）双曲线的渐近线方程；
（2）若P为双曲线上一点，且满足∠F₁PF₂=60°，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由焦距是实轴长的2倍，可得c=2a，b=

c2-a2

=

3

a，即可求出双曲线的渐近线方程；
（2）由余弦定理可得PF₁•PF₂=75，再利用S_△F1PF2=

1

2

PF₁•PF₂sin60°，即可求△PF₁F₂的面积．

解答： 解：（1）设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），则
∵焦距是实轴长的2倍，
∴c=2a，
∴b=

c2-a2

=

3

a，
∴双曲线的渐近线方程为y=±

3

3

x；
（2）由余弦定理可得4c²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=4a²+PF₁•PF₂，
∵焦距为10，
∴2c=10，2a=5
∴PF₁•PF₂=75．
∴S_△F1PF2=

1

2

PF₁•PF₂sin60°=

1

2

•75•

3

2

=

75 3

4

．

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，求出PF₁•PF₂的值，是解题的关键．