Question

已知a，b为实数，a＞2，函数f（x）=|lnx-

a

x

|+b（x＞0）．若f（1）=e+1，f（2）=

e

2

-ln2+1．
（1）求实数a，b；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若实数c，d满足c＞b，cd=1，求证：f（c）＜f（d）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把f（1）=e+1，f（2）=

e

2

-ln2+1．代入函数解析式得到关于a，b的方程组，求解方程组可得a，b的值；
（2）lnx，-

e

x

在（0，+∞）上均单调递增，lne-

e

e

=0，令（x）=lnx-

e

x

，得到结论．
（3）由题意得d=

1

c

，c＞1，代入比较即可．

解答： 解：（1）∵f（1）=e+1，f（2）=

e

2

-ln2+1．
∴|a|+b=e+1，|ln2-

a

2

|+b=

1

2

e-ln2+1，
∵a＞2，
∴a＞2ln2，
∴a+b=e+1，且

a

2

+b=

1

2

e+1，
解得：a=e，b=1．
（2）由（1）得f（x）=|lnx-

e

x

|+1，
∵lnx，-

e

x

在（0，+∞）上均单调递增，lne-

e

e

=0，
令g（x）=lnx-

e

x

，
∴当x＞e时，g（x）＞g（e）＞0，从而f（x）=lnx-

e

x

+1单调递增，
当0＜x＜e时，g（x）＜g（e）=0，从而f（x）=-lnx+

e

x

+1单调递减，
故f（x）的单调递减区间为（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．
（3）∵c＞b，cd=1，
∴d=

1

c

，c＞1，
∴f（c）=|

e

c

-lnc|+1，f（d）=f（

1

c

）=|ec+lnc|+1=ec+lnc+1，
∴ec+lnc＞lnc+

e

c

＞|lnc-

e

c

|，
∴f（c）＜f（d）
问题得证．

点评：本题考查了利用代入法求函数解析式，考查了利用函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想，训练了证明不等式成立的问题，此题属中档题．