Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-2，S_n=2a_n-3n（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=-2，S_n=2a_n-3n，a₂=4．可得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-3，即a_n=2a_n-1+3，化为a_n+3=2（a_n-1+3），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）由a₁=-2，S_n=2a_n-3n，a₂=4．
由S_n=2a_n-3n得S_n-1=2a_n-1-3（n-1），
∴S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-3，即a_n=2a_n-1+3，
∴a_n+3=2（a_n-1+3），
而a₂+3=7，
∴n≥2时{a_n+3}是以7为首项，公比为2的等比数列，
即an+3=7•2n-2，
∴an=

-2，n=1 7•2n-2-3，n≥2

．
（2）由（1）知：n≥2时nan=7n•2n-2-3n．
设n≥2时{n•2^n-2}的从第2到n项和T_n-1，
则Tn-1=2×20+3×21+4×22+…+n×2n-2，
2Tn-1=2×21+3×22+4×23+…+n×2n-1．
上面两式相减得-Tn-1=2+2+22+…2n-2-n×2n-1=2n-n×2n-1．
∴Tn-1=(n-2)×2n-1，
∴S₁=-2，
n≥2时Sn=a1+Tn-1=7(n-1)×2n-1-

3(n+2)(n-1)

2

-2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．