Question

如图，已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若d=

2

|PD|
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足

GD

=2

DC

，

MP

=3

PD

，

GM

•

PG

+

GM

•

PM

=0，求以P、G、D为顶点的三角形的面积．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知可得点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆，结合离心率、准线与焦点的距离求得a，c的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由已知关系可得G为椭圆的左焦点，再由已知的等式推得∴△PDG为直角三角形，∠PDG=90°，然后由三角形的面积公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵d=

2

|PD|，
∴

|PD|

d

=

2

2

∈（0，1），
∴点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆．
由e=

c

a

=

2

2

，又

a2

c

-c=1，
解得a=

2

，c=1，
于是b²=a²-c²=1
以CD所在直线为x轴，以CD与⊙D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系．
∴所求点P的轨迹方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）∵

GD

=2

DC

，|

GD

|=2，G为椭圆的左焦点．
又∵

GM

•

PG

+

GM

•

PM

=0，
∴

GM

•(

PG

+

PM

)=0．
由题意，

GM

≠

0

，

PG

+

PM

≠

0

（否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾），
∴(

PM

-

PG

)•(

PG

+

PM

)=0，

PM

2-

PG

2=0，
∴|

PG

|=|

PM

|=3|

PD

|．
又∵点P在椭圆上，
∴|

PG

|+|

PM

|=2a=2

2

，|

PD

|=

2

2

，|

PG

|=

3 2

2

．
又∵|

GD

|=2，
∴△PDG为直角三角形，∠PDG=90°．
∴S△PDG=

1

2

×

2

2

×2=

2

2

．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了椭圆的第二定义，训练了利用平面向量求解圆锥曲线问题，是中档题．