Question

设函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=

1

3

时，设函数g（x）=x²-2bx-

5

12

，若对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，得f(1)=-2，f′(x)=

1

x

-1，从而求出f（x）在x=1处的切线方程为y=-2；
（Ⅱ）f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x-(1-a)

x2

=

-(x-1)[ax-(1-a)]

x2

，讨论当a=0，a≠0，a＞

1

2

，a＜0时的情况，进而求出函数的单调区间；
（Ⅲ）a=

1

3

时，由（Ⅱ）得函数f（x）在区间（1，2）递增，得f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=-

2

3

，问题转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值-

2

3

（*），而g（x）=（x-b）²-b²-

5

12

，x∈[0，1]，讨论①b＜0时，②0≤b≤1时，③b＞1时的情况，综上，b的范围是[

1

2

，+∞）．

解答： 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，
∴f(1)=-2，f′(x)=

1

x

-1，
∴f′（1）=0
∴f（x）在x=1处的切线方程为y=-2
（Ⅱ）f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x-(1-a)

x2

=

-(x-1)[ax-(1-a)]

x2

，
f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=0时，f′(x)=

x-1

x2

，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）
当a≠0时，

1-a

a

＞1，即0＜a＜

1

2

时，
f（x）的增区间为(1，

1-a

a

)，减区间为（0，1），
(

1-a

a

，+∞)

1-a

a

=1，即a=

1

2

时，
f（x）在 （0，+∞）上单调递减

1-a

a

＜1，即a＞

1

2

或a＜0时，
a＞

1

2

时，f(x)的增区间为(

1-a

a

，1)，减区间为(0，

1-a

a

)，(1，+∞)，
a＜0时，f(x)的增区间为(0，

1-a

a

)，(1，+∞)；减区间为(

1-a

a

，1)；
（Ⅲ）a=

1

3

时，由（Ⅱ）得函数f（x）在区间（1，2）递增，
∴f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=-

2

3

，
若对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁ ）≥g（x₂）成立
?g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值-

2

3

（*），
又g（x）=（x-b）²-b²-

5

12

，x∈[0，1]，
①b＜0时，g（x）在[0，1]递增，
g（x）_min=g（0）=-

5

12

＞-

2

3

与（*）矛盾，
②0≤b≤1时，g（x）_min=g（b）=-b²-

5

12

≤-

2

3

，
∴

1

2

≤b≤1，
③b＞1时，g（x）在[0，1]递减，
∴g（x）_min=g（1）=

7

12

-2b≤-

2

3

，
∴b＞1，
综上，b的范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论，参数的范围，切线的方程，是一道综合题．