Question

下列判断正确的是

 

（把正确的序号都填上）．
①函数y=|x-1|与y=

x-1， x＞1 1-x， x＜1

是同一函数；
②函数y=

x3-x2

x-1

是偶函数；   
③函数f（x）=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递减；
④对定义在R上的函数f（x），若f（2）≠f（-2），则函数f（x）必不是偶函数；
⑤若函数f（x）在（-∞，0）上递增，在[0，+∞）上也递增，则函数f（x）必在R上递增．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①函数y=|x-1|的定义域是R，y=

x-1， x＞1 1-x， x＜1

的定义域是x≠1；②函数y=

x3-x2

x-1

的定义域是x≠1，关于原点不对称；③函数f（x）=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上没有单调性；④由偶函数的定义知函数f（x）必不是偶函数；⑤举反例y=

- 1 x ，x≠0 0，x=0

，在（-∞，0）上递增，在[0，+∞）上也递增，但在R上不递增．由此能求出结果．

解答： 解：①函数y=|x-1|的定义域是R，
y=

x-1， x＞1 1-x， x＜1

的定义域是x≠1，
∴函数y=|x-1|与y=

x-1， x＞1 1-x， x＜1

不是同一函数，故①错误；
②函数y=

x3-x2

x-1

的定义域是x≠1，关于原点不对称，
∴函数y=

x3-x2

x-1

是非奇非偶函数，故②错误；
③函数f（x）=

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上分别单调递减，
但在（-∞，0）∪（0，+∞）上没有单调性，故③错误；
④对定义在R上的函数f（x），若f（2）≠f（-2），
则由偶函数的定义知函数f（x）必不是偶函数，故④正确；
⑤若函数f（x）在（-∞，0）上递增，在[0，+∞）上也递增，
则函数f（x）在R上不一定递增，
例如y=

- 1 x ，x≠0 0，x=0

，在（-∞，0）上递增，在[0，+∞）上也递增，
但在R上不递增，故⑤错误．
故答案为：④．

点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．