Question

已知函数f（x）=x²+2alnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=

2

x

+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，再通过讨论a的范围，从而求出其单调区间，（Ⅱ）由g（x）=

2

x

+x²+2aln x得g′（x）=-

2

x2

+2x+

2a

x

，建立新函数，求出其最小值，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．     
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
②当a＜0时，f′（x）=

2(x+ -a )(x- -a )

x

，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	（0， -a ）	-a	（ -a ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

由上表可知，函数f （x）的单调递减区间是（0，

-a

）；
单调递增区间是（

-a

，+∞）．     …（7分）
（Ⅱ）由g（x）=

2

x

+x²+2aln x得g′（x）=-

2

x2

+2x+

2a

x

，
由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．即a≤

1

x

-x²在[1，2]上恒成立． 
令h（x）=

1

x

-x²，在[1，2]上h′（x）=-

1

x2

-2x=-（

1

x2

+2x）＜0，
所以h（x）在[1，2]上为减函数，h （x）_min=h （2）=-

7

2

，所以a≤-

7

2

．
故实数a的取值范围为{a|a≤-

7

2

}．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了数形结合思想，是一道综合题．