Question

已知函数f（x）=ln

m+x

7-x

在其定义域上为奇函数．
（1）求m的值；
（2）若关于x的不等式f（-x²+ax+5）+f（x+2a）＜0对任意实数x∈[2，3]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由奇函数的定义得f（-x）=-f（x），即ln

m-x

7+x

=ln

7-x

m+x

，解出m注意检验；
（2）利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，化为-7＜x+2a＜x²-ax-5＜7对任意实数x∈[2，3]恒成立，分别分离出参数a后化为函数的最值可求结果；

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴ln

m-x

7+x

=ln

7-x

m+x

，即m²=7²，∴m=±7，
当m=-7时，

-7+x

7-x

=-1＜0，舍；
当m=7时，f(x)=ln

7+x

7-x

，由

7+x

7-x

＞0得定义域为（-7，7）．
∴m=7．
（2）y=

7+x

7-x

=-1+

14

7-x

在（-7，7）是增函数，
∴f（x）在（-7，7）是增函数．
又∵f（x）为奇函数，
∴f（-x²+ax+5）+f（x+2a）＜0即f（x²-ax-5）＞f（x+2a），
∴-7＜x+2a＜x²-ax-5＜7对任意实数x∈[2，3]恒成立，
对于x+2a＜x²-ax-5，即x²-x-5＞a（x+2），
∵x+2＞0，∴a＜

x2-x-5

x+2

，
令g(x)=

x2-x-5

x+2

，g′（x）=

x2+4x+3

(x+2)2

＞0恒成立，
∴g（x）在[2，3]上递增，
∴g（x）_min=g（2）=-

3

4

，则a＜-

3

4

；
对于-7＜x+2a，∵h（x）在[2，3]上递增，∴h（x）_min=h（2）=2a+2＞-7，则a＞-

9

2

；
对于x²-ax-5＜7，即F（x）=x²-ax-12＜0，

F(2)=-2a-8＜0 F(3)=-3a-3＜0

，解得a＞-1；
综上，实数a的取值范围是-1＜a＜-

3

4

．

点评：该题考查函数恒成立、函数的单调性、奇偶性及其应用，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．