Question

平面上的两个向量

OA

，

OB

满足

|OA|

=a，

|OB|

=b，且

OA

⊥

OB

，a²+b²=4．向量：

OP

=x

OA

+y

OB

（x，y∈R），且a2(x-

1

2

)2+b2(y-

1

2

)2=1．
（1）如果点M为线段AB的中点，求证：

MP

=(x-

1

2

)

OA

+(y-

1

2

)

OB

；
（2）求丨

OP

丨的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义,向量的模

专题：平面向量及应用

分析：（1）由点M为线段AB的中点，得

OM

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，连同已知代入

MP

=

OP

-

OM

可证；
（2）设点M为线段AB的中点，则由

OA

⊥

OB

知|

MA

|=|

MB

|=|

MO

|=

1

2

|

AB

|=1．由（1）及a2(x-

1

2

)2+b2(y-

1

2

)2=1，可得|

MP

|²=1，从而可判断P，O，A，B四点都在以M为圆心、1为半径的圆上，
易知OP为圆M的直径时，|

OP

|max=2．利用基本不等式可求得四边形OAPB的面积的最大值；

解答： 解：（1）因为点M为线段AB的中点，
所以

OM

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，
所以

MP

=

OP

-

OM

=（x

OA

+y

OB

）-（

1

2

OA

+

1

2

OB

）=（x-

1

2

）

OA

+（y-

1

2

）

OB

．
（2）设点M为线段AB的中点，则由

OA

⊥

OB

知|

MA

|=|

MB

|=|

MO

|=

1

2

|

AB

|=1．
又由（1）及a2(x-

1

2

)2+b2(y-

1

2

)2=1，得|

MP

|²=|

OP

-

OM

|²=(x-

1

2

)2

OA

²+(y-

1

2

)2

OB

2=a2(x-

1

2

)2+b2(y-

1

2

)2=1，
所以|

MP

|=|

MO

|=|

MA

|=|

MB

|=1．
故P，O，A，B四点都在以M为圆心、1为半径的圆上，
所以当且仅当OP为圆M的直径时，|

OP

|max=2．
这时四边形OAPB为矩形，则S_{四边形OAPB}=|

OA

|•|

OB

|=ab≤

a2+b2

2

=2，
所以当且仅当a=b=

2

时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2．

点评：本题考查平面向量基本定理及其意义、向量的模等知识，有一定难度．