Question

如图，△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，…，△A_n-1B_nA_n均为等腰直角三角形，其直角顶点B₁，B₂，…，B_n（n∈N^*）在曲线y=

1

x

（x＞0）上，A₀与坐标原点O重合，A_i（i∈N^*）在x轴正半轴上．设B_n的纵坐标为y_n，则y₁+y₂+…+y_n=

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,函数的图象

专题：等差数列与等比数列

分析：由题设知a₁=

a1

2

+

2

a1

，由此能求出a₁，利用△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，求出B_n点的横纵坐标，再根据B_n点为函数y=

1

x

（x＞0）图象上的点，坐标满足函数y=

1

x

（x＞0）的解析式，就可得到a_n和a_n-1 之间的关系式．数列{a_n²}是首项为4，公差为4的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．由裂项法，能求出数列{y_n}的前n项和S_n．

解答： 解：∵曲线y=

1

x

上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角顶点在曲线上y=

1

x

，设A_n的坐标为（a_n，0），A₀为原点，
∴a₁=

a1

2

+

2

a1

，
解得a₁=2．
过B_n点作B_nH⊥x轴，垂足为H，
∵△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，
∴y_n=|B_nH|=

1

2

|A_n-1A_n|=

an-an-1

2

，
∴B_n点的纵坐标为

an-an-1

2

，
∵△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，
∴H点为线段A_n-1A_n的中点，
∴H点横坐标为

an+an-1

2

，
∵B_nH⊥x轴，∴B_n点的横坐标也为

an+an-1

2

，
∵B_n点为函数y=

1

x

（x＞0）图象上的点，
∴

an-an-1

2

•

an+an-1

2

=1
∴a_n²-a_n-1²=4．
a₁=2，
∴数列{a_n²}是首项为4，公差为4的等差数列，
∴a_n²=4n，
∴a_n=2

n

．
∵y_n=

2

an+an-1

=

1

n + n-1

=

n

-

n-1

，
∴S_n=（1-

0

）+（

2

-1）+…+（

n

-

n-1

）
=

n

．
故答案为：

n

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意数与函数的综合应用．