题目内容
已知函数f（x）=
-x在[0，1]上有零点．
（1）求实数a的取值范围
（2）对（1）中a的最大值记为t，定义g（x）=（t）x，（x∈R），g′（x）为g（x）的导函数，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是g（x）图象上的两点，且g′（x0）=
，试判定x0，x1，x2大小，并证明．
| ex+x-a |
（1）求实数a的取值范围
（2）对（1）中a的最大值记为t，定义g（x）=（t）x，（x∈R），g′（x）为g（x）的导函数，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是g（x）图象上的两点，且g′（x0）=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理
专题：导数的综合应用
分析：（1）由题意得：a=ex-x2+x，x∈[0，1]，设g（x）=ex-x2+x，从而求出g（x）＞g（1）=e-1＞0，进而求出则a的范围是[1，e]．
（2）由（1）知：t=e，由g（x）的图象猜想：x1＜x0＜x2，只需证
，从而解决问题．
（2）由（1）知：t=e，由g（x）的图象猜想：x1＜x0＜x2，只需证
|
解答：
解：（1）∵f（x）在[0，1]上有零点，即
=x有根，
∴a=ex-x2+x，x∈[0，1]，
设g（x）=ex-x2+x，
∴g′（x）=ex-2x+1，
∴g″（x）=ex-2＜0，
令g″（x）＞0，解得：x＞ln2，
令g″（x）＜0，解得：0＜x＜ln2，
∴g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，1]递增，
∴g′（x）＞g（1n2）＞0，
即g′（x）在[0，1]递增，
∴g（x）∈[1，e]，
则a的范围是[1，e]．
（2）由（1）知：t=e，
∴g（x）=ex，
由g（x）的图象猜想：x1＜x0＜x2，
∵g′（x0）=ex0=
，
要证x1＜x0＜x2，
只需证ex1＜
＜ex2，
只需证
，
设①中m（x）=ex+ex（x2-x）-ex2，
∵m′（x）=-ex（x-x2）≥0，
∴m（x）在（-∞，x2]上递增，
又∵x1＜x2，∴m（x1 ）＜m（x2 ），
即ex1+ex1（x2-x1）-ex2＜0，
同理可证②也成立，
故x1＜x0＜x2．
| ex+x-a |
∴a=ex-x2+x，x∈[0，1]，
设g（x）=ex-x2+x，
∴g′（x）=ex-2x+1，
∴g″（x）=ex-2＜0，
令g″（x）＞0，解得：x＞ln2，
令g″（x）＜0，解得：0＜x＜ln2，
∴g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，1]递增，
∴g′（x）＞g（1n2）＞0，
即g′（x）在[0，1]递增，
∴g（x）∈[1，e]，
则a的范围是[1，e]．
（2）由（1）知：t=e，
∴g（x）=ex，
由g（x）的图象猜想：x1＜x0＜x2，
∵g′（x0）=ex0=
| ex2-ex1 |
| x2-x1 |
要证x1＜x0＜x2，
只需证ex1＜
| ex2-xx1 |
| x2-x1 |
只需证
|
设①中m（x）=ex+ex（x2-x）-ex2，
∵m′（x）=-ex（x-x2）≥0，
∴m（x）在（-∞，x2]上递增，
又∵x1＜x2，∴m（x1 ）＜m（x2 ），
即ex1+ex1（x2-x1）-ex2＜0，
同理可证②也成立，
故x1＜x0＜x2．
点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．
练习册系列答案
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