题目内容

如图，在△ABC中，
AM
AB
=
1
3
，
AN
AC
=
1
4
，BN与CM交于点P，且
AP
=x
AB
+y
AC
（x，y∈R），则x+y=
 
．
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：由
AM
AB
=
1
3
，
AN
AC
=
1
4
，可得
AM
=
1
3
AB
，
AN
=
1
4
AC
．由于B，P，N三点共线，根据向量共线定理可得：存在实数m使得
AP
=m
AB
+(1-m)
AN
=m
AB
+
1-m
4
AC
．同理可得：存在实数n使得
AP
=n
AC
+(1-n)
AM
=n
AC
+
1-n
3
AB
．再利用共面向量基本定理即可得出．
解答： 解：∵
AM
AB
=
1
3
，
AN
AC
=
1
4
，∴
AM
=
1
3
AB
，
AN
=
1
4
AC
．
∵B，P，N三点共线，∴存在实数m使得
AP
=m
AB
+(1-m)
AN
=m
AB
+
1-m
4
AC
．
∵M，P，C三点共线，∴存在实数n使得
AP
=n
AC
+(1-n)
AM
=n
AC
+
1-n
3
AB
．
由共面向量基本定理可得：
m=
1-n
3
1-m
4
=n
，解得
m=
3
11
n=
2
11
．
∴
AP
=
3
11
AB
+
2
11
AC
，
与
AP
=x
AB
+y
AC
（x，y∈R）比较可得：x=
3
11
，y=
2
11
．
∴x+y=
5
11
．
故答案为：
5
11
．
点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则异面直线AD1与CE所成的角为（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2
已知F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A是上顶点，点P（1，
3
2
）在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若圆C的圆心在y轴上，且与直线AF2及x轴均相切，求圆C的方程．
在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-1，1）．动点P到点（0，
1
4
）的距离比P到y=-1的距离小
3
4
．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且
PQ
=λ
OA
（λ＞0）．直线OP与QA交于点M．问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=4S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
若函数y=x2-2ax，x∈[2，4]，求函数的最小值g（a）的表达式．
设F1、F2分别是椭圆D：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2作倾斜角为
π
3
的直线交椭圆D于A、B两点，F1到直线AB的距离为3，△ABF1的周长为8．
（1）求椭圆D的方程；
（2）已知点M（-1，0），设E是椭圆D上的一点，过E、M两点的直线l交y轴于点C，若
CE
=2
EM
，求点C的坐标．
已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与椭圆C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）在第一象限的公共点为A（2
2
，1），设抛物线C1的焦点为F，椭圆C2的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），△F1F2F的面积为6．
（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的方程；
（Ⅱ）设A1，A2为椭圆C2的左、右顶点，P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，直线l：x=
a2
c
，l与直线A1P，A2P分别交于点M，N，试探究：在x轴上是否存在定点D，使得以线段MN为直径的圆恒过点D，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）推广（Ⅱ），得椭圆的一般性的正确命题，据此类比，得到双曲线的一般性正确命题，请直接写出这个双曲线的正确命题（不必证明）．
如图，线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=5，点M是线段AB上一点，且
AM
=λ
MB
（λ＞0）．
（1）求点M的轨迹E的方程，并指明轨迹E是何种曲线；
（2）当λ=
2
3
时，过点P（1，1）的直线与轨迹E交于C、D两点，且P为弦CD的中点，求直线CD的方程．
（1）若不等式|-4x+b|＜6的解集为（-1，2），求b的值；
（2）若不等式x2-5x+a≥0的解集为（-∞，2]∪[b，+∞），求a，b的值．

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