题目内容

12．已知圆M的圆心为M（-1，2），直线y=x+4被圆M截得的弦长为$\sqrt{2}$，点P在直线l：y=x-1上．
（1）求圆M的标准方程；
（2）设点Q在圆M上，且满足$\overrightarrow{MP}$=4$\overrightarrow{QM}$，求点P的坐标；
（3）设半径为5的圆N与圆M相离，过点P分别作圆M与圆N的切线，切点分别为A，B，若对任意的点P，都有PA=PB成立，求圆心N的坐标．

分析 （1）求出M到直线y=x+4的距离，利用垂径定理计算圆M的半径，得出圆M的标准方程；
（2）由|MQ|=1可知|MP|=4，利用两点间的距离公式列方程解出P点坐标；
（3）由切线的性质可知PA2=PM2-1，PB2=PN2-5．设N（m，n），P（x，x-1），列出方程，令关于x的方程恒成立得出m，n．

解答 解：（1）点M到直线y=x+4的距离d=$\frac{|-1-2+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴圆M的半径r=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=1．
∴圆M的标准方程为：（x+1）2+（y-2）2=1．
（2）∵点Q在圆M上，∴|$\overrightarrow{QM}$|=1．
∴|$\overrightarrow{MP}$|=4|$\overrightarrow{QM}$|=4．
设P（a，b）则$\left\{\begin{array}{l}{b=a-1}\\{\sqrt{（a+1）^{2}+（b-2）^{2}}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴点P坐标为（-1．-2）或（3，2）．
（3）设N（m，n），P（x，x-1），
∵PA，PB分别与圆M，圆N相切，
∴PA2=PM2-1，PB2=PN2-25．
∵对任意点P，都有PA=PB，
∴（x+1）2+（x-3）2-1=（x-m）2+（x-1-n）2-25恒成立．
整理得：2（m+n-1）x+33-m2-n2-2n=0恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n-1=0}\\{33-{m}^{2}-{n}^{2}-2n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=4}\end{array}\right.$．
∴N（5，-4）或N（-3，4）．
当N坐标为（5，-4）时，|MN|=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$＞6，符合题意，
当N坐标为（-3，4）时，|MN|=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$＜6，此时两圆相交，不符合题意．
∴N（5，-4）．

点评 本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．

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