Question

7．已知直线l过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点，且交抛物线于A、B两点，弦AB的中点坐标为（1，$\sqrt{2}$），则|AB|等于3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用中点坐标公式可得x₁+x₂=2，y₁+y₂=2$\sqrt{2}$，设出直线方程代入抛物线的方程，消去y，运用韦达定理，解方程可得p，利用弦长公式y₁+y₂+p求出AB的长．

解答 解：抛物线x²=2py的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），准线方程为y=-$\frac{p}{2}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
弦AB的中点坐标为（1，$\sqrt{2}$），
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，即x₁+x₂=2，
$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，即y₁+y₂=2$\sqrt{2}$，
设过F（0，$\frac{p}{2}$）的直线方程为y=kx+$\frac{p}{2}$，
代入抛物线的方程，可得x²-2pkx-p²=0，
即有x₁x₂=-p²，
则x₁²+x₂²=2p（y₁+y₂）=4$\sqrt{2}$p，
即有（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4+2p²=4$\sqrt{2}$p，
解得p=$\sqrt{2}$，
由抛物线的定义可得|AB|=y₁+y₂+p=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题是直线被圆锥曲线所截，求弦长问题，一般可以由公式：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系，从而简化解题过程．但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．