Question

19．已知平面上两点A（-2，0），B（2，0），在圆C：（x-1）²+（y+1）²=4上取一点P，求使|AP|²+|BP|²取得最小值时点P的坐标，取得最大值时点P的坐标，并求出最大、最小值．

Answer 1

分析 将圆的方程化为参数方程，根据参数方程设出P的坐标为（1+2cosθ，-1+2sinθ），再由A和B的坐标，求出$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BP}$的坐标，可得|AP|²+|BP|²，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可得出所求式子的最值，以及此时θ的值，即可确定出此时P的坐标．

解答 解：圆C：（x-1）²+（y+1）²=4的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=-1+2sinθ}\end{array}\right.$，
设点P的坐标（1+2cosθ，-1+2sinθ），
∵A（-2，0），B（2，0），
∴$\overrightarrow{AP}=（3+2cosθ，-1+2sinθ）$，$\overrightarrow{BP}=（-1+2cosθ，-1+2sinθ）$，
∴|AP|²+|BP|²=（3+2cosθ）²+（-1+2sinθ）²+（-1+2cosθ）²+（-1+2sinθ）²
=-8sinθ+8cosθ+20=$-8\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+20$．
∴当sin（$θ-\frac{π}{4}$）=1，即$θ-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$，$θ=\frac{3π}{4}+2kπ，k∈Z$时，|AP|²+|BP|²取得最小值20-$8\sqrt{2}$．
此时P（1+2cosθ，-1+2sinθ）=（1-$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$）；
当sin（$θ-\frac{π}{4}$）=-1，即$θ-\frac{π}{4}=-\frac{π}{2}+2kπ$，$θ=-\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$时，|AP|²+|BP|²取得最大值$20+8\sqrt{2}$．
此时P（1+2cosθ，-1+2sinθ）=（1+$\sqrt{2}$，-1-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了两角和与差的正弦函数公式，圆的参数方程，同角三角函数间的基本关系，正弦函数的定义域与值域，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解答本题的关键，是中档题．