Question

10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1，A，B分别为C与x轴，y轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求A，B的极坐标；
（2）设M为曲线C上的一个动点，$\overrightarrow{OQ}$=λ•$\overrightarrow{OM}$（λ＞0），|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OQ}$|=2，求动点Q的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1，展开为$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=1，利用互化公式可得直线C的直角坐标方程，分别取θ=0，θ=$\frac{π}{2}$时，计算出ρ，即可得出直角坐标．
（2）由条件可设Q（ρ，θ）$M（{ρ_1}{，^{\;}}θ）$，由已知可得ρ•ρ₁=2，${ρ}_{1}cos（θ-\frac{π}{3}）$=2，联立解出ρj即可得出方程．

解答 解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1，展开为$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=1，可得直线C的直角坐标方程为$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=1，即x+$\sqrt{3}$y=2．
当θ=0时，ρ=2，∴A（2，0）；
当θ=$\frac{π}{2}$时，ρ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴B$（\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{π}{2}）$．
（2）由条件可设Q（ρ，θ），$M（{ρ_1}{，^{\;}}θ）$，
由条件$⇒\left\{\begin{array}{l}ρ•{ρ_1}=2\\{ρ_1}cos（θ-\frac{π}{3}）=2\end{array}\right.⇒ρ=2cos（θ-\frac{π}{3}）$为所求Q的极坐标方程．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．