Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{2}$CD=AD=1，PA⊥平面ABCD，PA=2AD，E是线段PD上的点，设PE=λPD，F是BC上的点，且AF∥CD
（Ⅰ）若λ=$\frac{2}{3}$，求证：PB∥平面AEF
（Ⅱ）三棱锥P-AEF的体积为$\frac{1}{3}$时，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，交AF于G，则△AGD∽△FGB，由已知可得$\frac{DE}{EP}=\frac{DG}{GB}$，则EG∥PB．再由线面平行的判定可得PB∥平面AEF；
（Ⅱ）证明AF⊥平面PAD，利用等积法结合三棱锥P-AEF的体积为$\frac{1}{3}$求λ的值．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
∵AD∥BC，AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，则CF=AD=1，
∵BC=3，∴BF=2，
连接BD，交AF于G，则△AGD∽△FGB，
∴$\frac{GD}{GB}=\frac{AD}{BF}=\frac{1}{2}$．
连接GE，∵PE=$\frac{2}{3}$PD，∴$\frac{DE}{EP}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{EP}=\frac{DG}{GB}$，则EG∥PB．
∵EG?平面AEF，PB?平面AEF，
∴PB∥平面AEF；
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AF，
由（Ⅰ）知AF∥CD，又CD⊥AD，
∴AF⊥AD，而PA∩AD=A，
∴AF⊥平面PAD．
∵PA=2AD=2，∴${S}_{△PAD}=\frac{1}{2}×2×1=1$，
∵PE=λPD，∴S_△PAE=λ，
又AF=CD=2，
∴${V}_{P-AEF}={V}_{F-PAE}=\frac{1}{3}•λ•2=\frac{1}{3}$，得$λ=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．