Question

【题目】已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足.

（1）求与的解析式；

（2）求证：在区间上单调递增；并求在区间的反函数；

（3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ，. (2)证明见解析；，. (3)

【解析】

（1）利用奇偶性可得，，即，联立求解即可；

（2）求出的解析式，根据定义式证明在上单调递增，根据反函数的概念求出的反函数和定义域；

（3）由题目所给的条件，把替换成，并写出的取值范围，通过变量分离把放到不等式的一边解出的取值范围.

解：（1），∴，

为偶函数，为奇函数，∴，

，∴，

∴，.

（2）对，且，

，，

∴在上是增函数；

的值域是，

根据反函数的概念

设，则，令，

则，再由解得

，即.

因为，

所以，所以，

因此的反函数，.

（3）在上单调递增，

令，，

∴对于恒成立，

∴，

对于恒成立，令

，

当且仅时等号成立，

∴，∴.