Question

【题目】已知函数.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)求函数的极值.

Answer 1

【答案】(1) 时， 递减； 时， 递增；(2)见解析.

【解析】分析：（1）求得函数，代入，得，设，得，得到函数的单调性，进而求得函数的单调性；

（2）由（1），得到，由在区间递减，在递增，得到时，分类讨论即可求得的极值.

详解：(1)函数的定义域为，其导数为.当时，

设，则，显然时递增；

时， 递减，故，于是，

所以时， 递减； 时， 递增；

(2)由(1)知，

函数在递增，在递减，所以

又当时， ,

讨论：

①当时， ，此时：

因为时， 递增； 时， 递减；

所以，无极小值；

②当时， ，此时：

因为时， 递减； 时， 递增；

所以，无极大值；

③当时，

又在递增，所以在上有唯一零点,且,

易证： 时， ，所以,

所以

又在递减，所以在上有唯一零点，且，故：

当时， 递减；当， 递增；

当时， 递减；当， 递增；

所以， ， ,

.