Question

【题目】已知函数，(e是自然对数的底数)，对任意的R，存在，有，则的取值范围为____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

问题转化为f（x）max≤g（x）max，分别求出f（x）和g（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

对任意的x1∈R，存在x2∈[，2]，有f（x1）≤g（x2），

故f（x）max≤g（x）max，

f′（x）=，（x＞0），

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，

令f′（x）＜0，解得：x＞e，

故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，

故f（x）max=f（e）=，

g′（x）=﹣2ex+a，

①a≤0时，g′（x）≤0，g（x）在[，2]递减，

g（x）max=g（）=﹣e+a≥，

解得：a≥+（舍），

②a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=，

（i）≤即a≤时，g（x）在[，2]递减，

结合①，不合题意，舍，

（ii）＜＜2即＜a＜4e时，

g（x）在[，）递增，在（，2]递减，

故g（x）max=g（span>）=≥，

解得：a≥2；

（iii）≥2即a≥4e时，

g（x）在[，2]递增，

g（x）max=g（2）=﹣4e+2a≥，

解得：a≥2e+，

综上，a≥2，

故答案为：[2，+∞）．