Question

18．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 求导，由题意可知：f（1）=10，f′（1）=0，即可求得a和b的值，求得函数解析，根据导数与函数单调性的关系，判断函数的极值，求得函数f（x）的解析式．

解答 解：由函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，则f（1）=10，f′（1）=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b+{a}^{2}=10}\\{3+2a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，则f（x）=x³-3x²+3x+9，求导f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
∴当x=1，无极值，不成立，
$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$，则f（x）=x³+4x²-11x+16，
函数f（x）的解析式f（x）=x³+4x²-11x+16．

点评 本题考查导数的应用，考查导数与极值的关系，考查计算能力，属于中档题．