题目内容
6．已知x＞0，y＞0，x+y=2，求证：（1+$\frac{1}{x}$）（1+$\frac{1}{y}$）≥4．分析 由x+y=2，x＞0，y＞0，可得（1+$\frac{1}{x}$）（1+$\frac{1}{y}$）=1+$\frac{3}{xy}$，再利用基本不等式的性质即可得出．
解答 证明：（1+$\frac{1}{x}$）（1+$\frac{1}{y}$）=1+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{xy}$=1+$\frac{x+y}{xy}$+$\frac{1}{xy}$．
∵x+y=2，x＞0，y＞0，
∴（1+$\frac{1}{x}$）（1+$\frac{1}{y}$）=1+$\frac{3}{xy}$，2$≥2\sqrt{xy}$，即$\frac{1}{xy}≥$1，当且仅当x=y=1时取等号．
∴（1+$\frac{1}{x}$）（1+$\frac{1}{y}$）≥4．
点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
17．下列四个命题中正确的是（ ）
| A． | 经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示 | |
| B． | 经过任意两个不同点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程$\frac{（y-{y}_{1}）}{（{y}_{2}-{y}_{1}）}$=$\frac{（x-{x}_{1}）}{（{x}_{2}-{x}_{1}）}$表示 | |
| C． | 不经过原点的直线都可以用方程$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1表示 | |
| D． | 斜率存在且不为0，过点（n，0）的直线都可以用方程x=ny+n表示． |
1．“f（x）≥3”是“f（x）的最小值为3”的（ ）条件．
| A． | 充分非必要 | B． | 必要非充分 | ||
| C． | 充要 | D． | 既非充分也非必要 |
11．下列选项中，说法正确的是（ ）
| A． | 命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题 | |
| B． | 命题“若$\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|”的否命题是真命题 | |
| C． | x=1是$x-1=\sqrt{x-1}$的必要不充分条件 | |
| D． | ab＞1是a＞1且b＞1的必要不充分条件 |
15．设$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sinπx，x≥0\\ cos（{\frac{πx}{2}+\frac{π}{3}}），x＜0\end{array}\right.$则$f（f（\frac{15}{2}））$=（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C． | $-\frac{1}{2}$ | D． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |