Question

已知函数g（x）对一切实数x，y都有g（x+y）-g（y）=x（x+2y+1）成立，且g（1）=0，设f（x）=

g(x)-3x+3

x

．
（1）求g（0）的值；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋x=-1，y=1求出f（0）；
（2）在（1）基础上赋值y=0可以实现求解f（x）的解析式的问题；

解答： 解：（1）∵g（x+y）-g（y）=x（x+2y+1），g（1）=0，
令x=1，y=0，得g（1）-g（0）=1×（1+0+1）=2，
故g（0）=-2，
（2）令y=0，则g（x）-g（0）=x（x+1），
∴g（x）=x²+x-2，
∴f（x）=

g(x)-3x+3

x

=

x2+x-2-3x+3

x

=x+

1

x

-2，

点评：本题考查抽象函数的问题，采用赋值法是解决这类问题的常用方法，属于中档题．