Question

设非零复数x，y满足x²+xy+y²=0，则代数式(

x

x+y

)2012+(

y

x+y

)2012的值是

 

．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：根据题意，求出方程的根

x

y

的值是ω，满足ω³=1，1+ω=-ω²，化简并求代数式的值．

解答： 解：∵x，y满足x²+xy+y²=0，且复数x，y都不为0，
∴方程变形为(

x

y

)2+

x

y

+1=0，解这个方程得

x

y

=-

1

2

±

3

2

i=ω，
显然ω³=1，1+ω=-ω²，
而2012=3×670+2，
∴原式=

( x y )2012

( x y +1)2012

+

1

( x y +1)2012

=

ω2012

(1+ω)2012

+

1

(1+ω)2012

=

ω2

(-ω2)2012

+

1

(-ω2)2012

=

ω2+1

ω2024

=

-ω

ω

=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查了复数的代数运算问题，解题的关键是求出方程的根

x

y

的值是ω，是中档题．