题目内容
已知三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，侧楼AA1⊥底面ABC，AB=BC=CC1=4，N为AC的中点，M为BC的中点．（1）求证：A1B1∥平面MNC1
（2）求二面角C1-MN-C的正切值的大小．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）利用三角形的中位线的性质，证明MN∥AB，可得B1∥MN，利用线面平行的判定定理，即可证明A1B1∥平面MNC1
（2）由题意，∠C1MC是二面角C1-MN-C的平面角，从而可求二面角C1-MN-C的正切值的大小．
（2）由题意，∠C1MC是二面角C1-MN-C的平面角，从而可求二面角C1-MN-C的正切值的大小．
解答：
（1）证明：∵N为AC的中点，M为BC的中点，
∴MN∥AB，
∵ABC-A1B1C1是三棱柱，
∴A1B1∥AB，
∴A1B1∥MN，
∵A1B1?平面MNC1，MN?平面MNC1，
∴A1B1∥平面MNC1；
（2）解：由题意，∠C1MC是二面角C1-MN-C的平面角．
∵BC=CC1=4，M为BC的中点，
∴二面角C1-MN-C的正切值为2．
∴MN∥AB，
∵ABC-A1B1C1是三棱柱，
∴A1B1∥AB，
∴A1B1∥MN，
∵A1B1?平面MNC1，MN?平面MNC1，
∴A1B1∥平面MNC1；
（2）解：由题意，∠C1MC是二面角C1-MN-C的平面角．
∵BC=CC1=4，M为BC的中点，
∴二面角C1-MN-C的正切值为2．
点评：本题考查线面平行的判定，考查二面角C1-MN-C的正切值，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
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