Question

已知函数在点（1,f(1))处的切线方程为y = 2.
(I)求f(x)的解析式；
(II)设函数若对任意的，总存唯一实数，使得,求实数a的取值范围.

Answer 1

(I) (II)

试题分析：（Ⅰ）                     ……2分
由在点处的切线方程为，得，
即,解得.故                       ……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故在上单调递增，在上单调递减,由 ，故的值域为                  ……6分
依题意，记
（ⅰ）当时，，在上单调递减，依题意由得，故此时                      ……8分
（ⅱ）当时，>>当时，<，当时，>．依题意得：
 或 解得                        ……10分
（ⅲ）当4时，，此时>，在单调递增．依题意得
 即此不等式组无解                               ……11分
综上，所求取值范围为                                 ……12分.
点评：导数是研究函数性质的有力工具，研究函数时，首先要看函数的定义域，求单调区间、极值、最值时，往往离不开分类讨论，主要考查学生的分类讨论思想的应用和运算求解能力.