Question

已知等差数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{

1

an+1an

}的前n项和，是否存在正整数n，使得T_n＜

1007

2015

？若存在，求n的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，利用S₁，S₂，S₄成等比数列，求出公差，然后求出通项公式．
（Ⅱ）利用a_n=1时，T_n=n≥1，此时不存在正整数n，使得Tn＜

1007

2015

；当a_n=2n-1时，利用裂项法求出T_n，通过Tn＜

1007

2015

，解得n＜1007．得到n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，依题意，1，2+d，4+6d成等比数列，
所以（2+d）²=4+6d，即d²-2d=0，所以d=0或d=2．
因此，当d=0时，a_n=1；当d=2时，a_n=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）当a_n=1时，T_n=n≥1，此时不存在正整数n，使得Tn＜

1007

2015

；
当a_n=2n-1时，Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
由Tn＜

1007

2015

，得

n

2n+1

＜

1007

2015

，解得n＜1007．
故n的最大值为1006．…（12分）

点评：本题考查数列求和，数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．