Question

已知函数f（x）=ax-e^x，（a＞0）
（1）若a=1，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求证：对任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）若a=1，求函数的导数利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）对任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．转化为以a为参数的函数，利用函数的单调性进行求解即可．

解答： 解：（1）当a=1，则f（x）=x-e^x，
则f′（x）=x-e^x，
f′（1）=1-e，f（1）=1-e，
故函数x=1处的切线方程为y-（1-e）=（1-e）（x-1），
即y=（1-e）x．
（2）若f（x）≤x恒成立，
即ax-e^x≤x恒成立，即证ax-x-e^x≤0即可，
设g（a）=ax-x-e^x，
若x=0，则g（a）=-1≤0成立，
若x≥0，则当a∈[1，e+1]时，函数g（a）单调递增，此时函数的最大值g（e+1）=（e+1）x-x-e^x=ex-e^x，
设h（x）=ex-e^x，则h′（x）=e-e^x，由h′（x）＜0，解得x＞1，由h′（x）＞0，解得0≤x＜1，
即当x=1时，函数h（x）取得极大值，h（1）=e-e=0，
故当x≥0时，h（x）≤h（1）=e-e=0，g（e+1）=ex-e^x≤0成立，
若x＜0，则a∈[1，e+1]时，函数g（a）单调d递减，此时函数的最大值g（1）=x-x-e^x=-e^x＜0，
综上（a）=ax-x-e^x≤0成立，
即任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．

点评：本题主要考查函数的切线求解，综合考查导数是几何意义的应用，利用参数转化法是解决本题的关键．