Question

9．已知圆x²+y²=8内一点M（-1，2），AB为过点M且倾斜角为α的弦．
（Ⅰ）当$α=\frac{3π}{4}$时，求AB的长；
（Ⅱ）当弦AB被点M平分时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意直线AB的斜率为-1，可得直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB的距离，由弦长公式求得AB的长．
（Ⅱ）当弦AB被点M平分时，OM⊥AB，故AB 的斜率为$\frac{1}{2}$，根据点斜式方程直线AB的方程．

解答 解：（Ⅰ） 当$α=\frac{3}{4}π$时，直线AB的方程为：y-2=-（x+1）⇒x+y-1=0
设圆心到直线AB的距离为d，则$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=\sqrt{30}$；
（Ⅱ）当弦AB被点M平分时，OM⊥AB．
因为K_OM=-2，可得${K_{AB}}=\frac{1}{2}$，故直线AB的方程为：$y-2=\frac{1}{2}（{x+1}）$
即x-2y+5=0．

点评 本题考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求出圆心0（0，0）到直线AB的距离为d，是解题的关键．