Question

17．已知不等式xy≤ax²+2y²，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 把已知不等式变形，分离变量a，得到a≥$-2（\frac{y}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$，由x∈[1，2]，且y∈[2，3]作出可行域，由$\frac{y}{x}$的几何意义求出$\frac{y}{x}$的取值范围，进一步求出函数$-2（\frac{y}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$的最大值，则答案可求．

解答 解：依题意得，当x∈[1，2]，且y∈[2，3]时，
不等式xy≤ax²+2y²，
即a≥$\frac{xy-2{y}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{y}{x}$-2•$（\frac{y}{x}）^{2}$=$-2（\frac{y}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$．
在坐标平面内画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤2\\ 2≤y≤3\end{array}$表示的平面区域，
注意到$\frac{y}{x}$可视为该区域内的点（x，y）与原点连线的斜率，结合图形可知，$\frac{y}{x}$的取值范围是[1，3]，
此时$-2（\frac{y}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$的最大值是-1，
因此满足题意的实数a的取值范围是a≥-1．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．